前不久，網劇《顯微鏡下的大明之絲絹案》播出，劇中多次呈現一種神奇的“推步聚頂之術”，用于測量那些形狀極不規整的“妖田”。面對“妖田”，常用的測量方法和面積公式都派不上用場，只有使出“推步聚頂之術”，才能又快又準地解決問題。

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本劇以明朝為歷史背景，明朝真的有過“推步聚頂之術”嗎？我們不妨一邊回顧劇情，一邊回看歷史，探討一下明朝的土地清丈和相關的數學技能。

真實歷史記載于萬歷年間《絲絹全書》

先說劇情。

故事發生在明朝中葉，主角叫帥家默，金安府金華縣人，父母雙亡，性格自閉，絲毫不通人情世故，但卻極具數學天分，故此得名“算呆子”。帥家默查閱官府檔案時，偶然發現他們金華百姓每年要繳納3530兩的“人丁絲絹稅”，已經連繳100多年，而在金安府治下8個縣當中，這筆稅賦只有金華縣承擔，其他7縣均未分攤。帥家默向金華知縣揭露此事，知縣不理，他便去知府衙門和巡按衙門提告，掀起震動江南的一場風波，還與朝廷即將全面推行的土地清丈和均平稅賦政策牽扯起來……

這段劇情是有歷史原型的，相關史事詳載于明朝萬歷七年（公元1579年）定稿的《絲絹全書》。編劇創作時，核心故事未變，但人名、地名和稅賦數目均有改動。

在《絲絹全書》中，帥家默本名帥嘉謨，金安府本為徽州府，金華縣本為徽州歙縣，歙縣每年多繳的“人丁絲絹稅”并非3530兩白銀，而是8780匹絲綢，徽州府當時治下也不是8個縣，而是6個縣。劇中那位本來與帥家默對簿公堂、后來又從反派變成正派的訟師程仁清，在《絲絹全書》里本名程任卿，是徽州府婺源縣的秀才。事實上，連《絲絹全書》這部文獻都是由程任卿編寫完成的。

更有必要說明的是，本劇總編劇馬伯庸仔細研究過《絲絹全書》，他先根據《絲絹全書》創作歷史隨筆，使其成為《顯微鏡下的大明》一書的篇章之一，又在歷史隨筆的基礎上寫出這部同名網劇。

“割補之術”用來測量不規則地塊

馬伯庸不僅擅長講故事，也擅長讀歷史，從劇中出現的計算道具和測量道具可以看出，他必定參考了明朝中葉最流行的數學書籍《算學寶鑒》和《算法統宗》。

比如說，每集片頭都有一個鏡頭，用紅、黃、綠三色的小木棒和草莖組成“≡|||||、≡〇”，其中小木棒是明朝及明朝以前數學家常用的算籌，而這組用小木棒和草莖組成的符號就相當于阿拉伯數字3530。

再比如第十集，主角帥家默使用一些奇怪的符號做計算，那些符號在明朝叫“賬碼”，是阿拉伯數字普及以前中國數學家普遍使用的數字系統。

又比如說，帥家默測量土地時，常用一種仿佛現代風箏線輪的放線工具，其樣式在《算法統宗》中繪有插圖，是明朝數學家程大位發明的“新丈量步車”。

還有本劇第七集，帥家默與同樣愛好數學的鄧知縣探討土地丈量之術，提到“廣田”“圭田”“箕田”“弧田”，這些術語在明朝數學書籍里都很常見，分別指長方形地塊、三角形地塊、梯形地塊、扇形地塊。

長方形、三角形、梯形、扇形，都有現成的面積公式，易于測量和計算，但如果遇到劇中所說的“妖田”，那就很難辦了。“妖田”這個詞，現存的明朝數學書籍里并未出現，元朝《農書》里倒是有，是指灌溉之后迅速干涸的農田，與劇中含義并不相同。編劇可能是從《農書》里借用了這個詞，也可能是碰巧創造了一個同音但不同義的概念，表示形狀極不規則的多邊形地塊。

古人怎樣測量不規則地塊的面積呢？通常使用“割補之術”：先將地塊補成長方形，再切割成一個個三角形，匯總出所有三角形的面積，再減去所補圖形的面積，即是該地塊的真實面積。在第七集，帥家默與鄧知縣比賽計算同一塊“妖田”的面積，都不約而同地使用“割補之術”，而帥家默的心算能力更好，從速度而不是計算方法上擊敗了鄧知縣。

所謂“推步聚頂”其實運用了“鞋帶公式”

有沒有比“割補之術”更好的方法呢？帥家默隱約記得，小時候曾聽父親帥敦誠講過一種無需割補、直接測量的技術，也就是貫穿本劇的“推步聚頂之術”，至于技術細節，他實在記不得了。直到第14集，他突然想通父親當年的算法，還背誦出“推步聚頂”的口訣：“先牽經緯以衡量，再點原初標步長。田形取頂分別數，再算推步知地方。”

單憑這四句口訣，我們肯定搞不懂“推步聚頂”究竟是怎么一回事，然而參照劇中的操作，就能看出端倪。在第14集，帥家默丈量一塊最難計算的“妖田”，他先在該“妖田”的每一個頂點打樁，再橫平豎直地拉開繩尺，以繩尺左側交匯處為原點，分別測算各個頂點到原點的長寬步數，將這些數字成對排列，交叉計算……

曾有觀眾為帥家默的計算過程提出解釋，說“推步聚頂”運用了微積分。其實，以上測量和計算過程使用的數學原理并非微積分，而是“鞋帶公式”。“鞋帶公式”是利用坐標計算不規則多邊形面積的理論方法。簡單說，在測量地塊之前，先要建立一個平面直角坐標系，分別測量該地塊所有頂點的坐標，再沿著同一個方向（順時針或逆時針）為這些坐標依次編號，列成一張上下排列的數表，再像穿鞋帶一樣，將相鄰坐標的x值和y值交叉相乘，循環相減，將差相加，求得總和，將總和取絕對值，再除以2，即是該地塊的面積。

舉例說，有一塊不規則五邊形農田，共有5個頂點，順時針測量，這些頂點的坐標分別是（3,4）、（5,11）、（12,8）、（9,5）、（5,6）。依據“鞋帶公式”，相鄰坐標交叉相乘，循環相減：3×11-4×5，5×8-11×12，12×5-8×9，9×6-5×5，5×5-6×3；得到5個數：13、-92、-12、29、2；這些數相加，總和是-60；取絕對值，得60；再除以2，得30。所以，這塊地的面積就是30。如果測量各坐標時用的單位是丈，面積即為30平方丈，明朝60平方丈為一畝，這塊地的面積就是半畝。

在測量技術上明朝并沒有任何突破

“鞋帶公式”是德國數學家德雷斯特（Albrecht?Ludwig?Friedrich?Meister）在公元1769年提出的。幾十年后，另一位德國數學家高斯（Carolus?Fridericus?Gauss）給出該公式的證明，并且用矩陣運算予以簡化。所以，這個公式又被稱為“高斯面積公式”。

無論是德雷斯特提出“鞋帶公式”，還是高斯將該公式轉化為矩陣運算，其時間都晚于明朝，所以帥家默不可能未卜先知地使用這個公式。那么明朝數學家有沒有發明與“鞋帶公式”相近的測量術呢？沒有。

從開國皇帝朱元璋開始，明朝就格外重視土地清丈，試圖查清全國每一塊農田的真實面積，從而制定出對全國農民都比較均平的賦稅政策。然而在測量技術上，明朝并沒有任何突破，采用的仍然是此前宋朝和更加久遠的漢唐時期的數學知識，只是將算盤給普及了而已。至于劇中呈現的“推步聚頂”，那是編劇對“鞋帶公式”的演繹，不是明朝已有的數學。

坦白說，從實際操作角度看，在計算機和GPS定位技術出現之前，用“鞋帶公式”測量面積只能是一種想象，因為它不僅需要建立坐標系，更需要地塊平整，無坡度，無坑洼，無視線阻隔，否則根本測不出各個頂點到坐標原點的真實距離。

文/李開周

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